篇一：二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结
1．二项式定理公式：
0n1n?1rn?rrnn
(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N?)，
2．基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做(a?b)n的二项展开式。
r
(r?0,1,2,???,n). ②二项式系数:展开式中各项的系数Cn
③项数：共(r?1)项，是关于a与b的齐次多项式
rn?rr
④通项：展开式中的第r?1项Cn用Tr?1?Cnaab叫做二项式展开式的通项。
rn?rr
b表示。
3．注意关键点：
①项数：展开式中总共有(n?1)项。
②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(a?b)n与(b?a)n是不同的。
③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。
各项的次数和等于n.
012rn④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn,Cn,Cn,???,Cn,???,Cn.
项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：
0122rrnn令a?1,b?x,(1?x)n?Cn?Cnx?Cnx???Cnx???Cnx(n?N?) 0122rrnn令a?1,b??x,(1?x)n?Cn?Cnx?Cnx???Cnx???(?1)nCnx(n?N?)
5．性质：
①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即
0nkk?1
Cn?Cn,·Cn?Cn
012rn
②二项式系数和：令a?b?1,则二项式系数的和为Cn ?Cn?Cn???Cn???Cn?2n，12rn 变形式Cn?Cn???Cn???Cn?2n?1。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
0123nn
在二项式定理中，令a?1,b??1，则Cn?Cn?Cn?Cn????(1)C(11)?n0n??0242r132r?1
?Cn?Cn????Cn?????Cn?Cn???Cn?????从而得到：Cn
，
1n
?2?2n?1 2
④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
0n01n?12n?22n0n
(a?x)n?Cnax?Cnax?Cnax???Cnax?a0?a1x1?a2x2???anxn00n122n?2nn0(x?a)n?Cnax?Cnaxn?1?Cnax???Cnax?anxn???a2x2?a1x1?a0
?x?1, ?a0?a1?a2?a3??an?(a?1)n???????????x??1,?a0?a1?a2?a3???an?(a?1)n?????????(a?1)n?(a?1)n????,a0?a2?a4??an?(???????)
2
(a?1)n?(a?1)n
????,a1?a3?a5??an?(???????)
2
⑤二项式系数的最大项：
如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数C?Tn取得最大值。
2?1n?12,n
n?1
2n
n2n
如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数Tn
2
?1
?CC
?Tn同时取
2?1
n?1n?1
得最大值,且C2n?C2n
。
⑥系数的最大项：
求(a?bx)展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别
n
r?1项系数最大，应有?为A1,A2,???,An?1，设第
?Ar?1?Ar
，从而解出r来。
A?A?r?1r?2
篇二：二项式定理(习题含答案)
二项式定理
一、 求展开式中特定项 1
、在30
的展开式中，x的幂指数是整数的共有（） A．4项 B．5项 C．6项 D．7项 【答案】C
r
【解析】Tr?1?C30?
x?
30?r
15?r?1?r6
??，r?0,1,2......30，若要是幂指数是????C30?x?x?
r
5
整数，所以r?0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C．
1
3、若(x2?3)5展开式中的常数项为．（用数字作答）
x
【答案】10
【解】由题意得，令x?1，可得展示式中各项的系数的和为32，所以2n?32，解得n?5，所以(x2?
15r10?5r2
，当r?2时，常数项为C5?10， )展开式的通项为Tr?1?C5x3
x
4
、二项式)8的展开式中的常数项为． 【答案】112
【解析】由二项式通项可得，Tr?1?C(x)
r8
8?r
?r
rrr
(?)?(?2)C8x（r=0,1,,8）,显然x
2x
当r?2时，T3?112，故二项式展开式中的常数项为112.
1
)(1?3x)4的展开式中常数项等于________． x
【答案】14．
1r
2【解析】因为(2?)(1?3x)4中(1?3x)4的展开式通项为Cr4(?3x)，当第一项取时，
x
1
2?，此时的展开式中常数为；当第一项取时，C1C0?144(?3x)??12，此时的展开
x
式中常数为12；所以原式的展开式中常数项等于14，故应填14．
5、(2?6、设a?
?
?
??2x?，则sinx?1?2cosdx?x2?2的展开式中常数项是． ???2???
6
??
【答案】??332 332a?
?
?
?2
?sinx?1?2cos?
??x?
?dx??
0?sinx?cosx?dx?(?cosx?sinx)0?2，2?
(
66
?的展开式的通项为
r
Tr?1?C66?r(rr
?(?1)r?26?rC6?x3?r，所以所求常数项为35
??332． T?(?1)3?26?3C6?2?(?1)5?26?5C6
二、 求特定项系数或系数和
7
、(x)8的展开式中x6y2项的系数是（）
A．56 B．?56 C．28 D．?28
【答案】A
r8?r2
【解析】由通式C8令r?2，则展开式中x6y2项的系数是C8 x(?2y)r，(?2)2?56．
8、在x（1+x）的展开式中，含x项的系数是． 【答案】15
rr2
【解】?1?x?的通项Tr?1?C6x，令r?2可得C6?15．则x?1?x?中x3的系数为15.
6
6
63
9、在(1?x)6?(2?x)的展开式中含x3的项的系数是． 【答案】-55
32【解析】(1?x)6?(2?x)的展开式中x3项由2C6(?x)3和（-x）?C6(?x)2两部分组成，32所以x3的项的系数为-2C6?C6??55． e10、已知n??1
6
13ndx，那么（x?）展开式中含x2项的系数为．
xx
6
【答案】135
e
【解析】根据题意，n??1
3n1e6
（x?）dx?lnx|1?6，则中，由二项式定理的通项公式
xx
rn?rrr6?r
Tr?1?Cnab，可设含x2项的项是Tr?1?C6x(?3)r，可知r?2，所以系数为2
． C6?9?135
11、已知?1?x??a0?a1?1?x??a2?1?x??L?a10?1?x?，则a8等于（）
A．－5 B．5C．90 D．180
101082
a(1?x)?(?2?1?x)C(?2)?45?4?180.选Ｄ． 810【答案】D因为，所以等于
10210
12、
在二项式1n
x)的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则n?________；2
展开式中的第4项＝_______． 【答案】8，?7x．
(n?r)(2n?r)1r21r1rr33
?x?Cn(?)x【解析】由二项式定理展开通项公式Tr?1?C(?)x，由题
22
rn
193
19
(16?3)131
??7x3．意得，当且仅当n?4时，C取最大值，∴n?8，第4项为C(?)x3
2
rn38
13、如果(1?2x)7?a0?a1x?a2x2???a7x7，那么a0?a1???a7的值等于（） （A）－1 （B）－2 （C）0 （D）2 【答案】A
【解析】令x?1，代入二项式(1?2x)7?a0?a1x?a2x2???a7x7，得(1?
7
2?)a0?a1?a2??
x?令?代入二项式(1?2x)7?a0?a1x?a2x2???a7x7，a?1?0，7，
得(1?0)7?a0?1，所以1?a1?a2???a7??1，即a1?a2???a7??2，故选A． 14、（
﹣2）7展开式中所有项的系数的和为
【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1， 15、（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于 【答案】0 解：在（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0， 所以展开式中所有项的系数和等于0. 16
、在1
3)n(n?N*)的展开式中，所有项的系数和为?32，则的系数等于．
x1
的项就是x
【答案】?270
【解析】当x?1时，?-2???32，解得n?5，那么含
n
?1?13
??C52?????3??270，所以系数是-270. ??x?x?
17、设k?
2
?
?
(sinx?cosx)dx，若(1?kx)8?a0?a1x?a2x2???a8x8，则
．a1?a2?a3????a8? ?【答案】0.
【
?
解
?
析】由
k??(sinx?cosx)dx?(?cosx?sinx)
?(?cos??sin?)?(?cos0?sin0)?2，
令x?1得：(1?2?1)8?a0?a1?a2???a8，即a0?a1?a2???a8?1 再令x?0得：(1?2?0)8?a0?a1?0?a2?0???a8?0，即a0?1 所以a1?a2?a3?????a8?0
18、设（5x﹣）的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M﹣N=240，则展开式中x的系数为 . 【答案】150
解：由于（5x﹣）n的展开式的各项系数和M与变量x无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n=4n．
再由二项式系数和为N=2n，且M﹣N=240，可得 4n﹣2n=240，即 22n﹣2n﹣240=0. 解得 2n=16，或 2n=﹣15（舍去），∴n=4. （5x﹣5？令4﹣
4﹣r
n
）的展开式的通项公式为 Tr+1=．
n
？（5x）？（﹣1）？
4﹣rr
=（﹣1）？
r
？
=1，解得 r=2，∴展开式中x的系数为 （﹣1）？
r
？5
4﹣r
=1×6×25=150，
19、设(1?x)8?a0?a1x???a7x7?a8x8，则a1???a7?a8?． 【答案】255
【解析】a1???a7?a8??a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7?a8， 所以令x??1，得到28?a0?a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7?a8， 所以?a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7?a8?28-a0?256?1?255 三、 求参数问题
20
、若的展开式中第四项为常数项，则n?（） A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解析】根据二项式展开公式有第四项为T4?C(x)为常数，则必有
3n
n?3
n
(
12x
)?C2x
3
3n
?3
n?52
，第四项
n?5
?0，即n?5，所以正确选项为B. 2
21、二项式(x?1)n(n?N*)的展开式中x2的系数为15，则n? （） A、5 B、 6 C、8 D、10 【答案】B
k
【解析】二项式(x?1)n(n?N*)的展开式中的通项为Tk?1?Cn?xn?k，令n?k?2，得n?22k?n?2，所以x2的系数为Cn?Cn?
n(n?1)
?15，解得n?6；故选B． 2
22、(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________．【答案】2
333rr4?r
【解析】∵Tr+1=C4∴当4?r?3，即r?1时，T2=C1ax，4ax?4ax?8x,?a?2．
23、若?1?x??1?ax?的展开式中x2的系数为10，则实数a?（） A
1B．?或1 C．2或? D
．B．
【解析】由题意得(1?ax)4的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式
rrrTr?1?C4ax，
221∴C4a?C4a?10?a?1或?，故选B．
4
5
353
53
24、设(1?x)?(1?x)2?(1?x)3?????(1?x)n
?a0?a1x?22ax?n?n??，a?当x
a0?a?an?254时，n等于（） 1a?????2
A．5B．6C．7D．8
【答案】C．【解析】令x?1，
2(2n?1)
?2n?1?2?254?n?1?8?n?7，故选C． 则可得2?2?2?????2?
2?1
2
3
n
四、 其他相关问题
25、20152015除以8的余数为( ) 【答案】7
【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数． 试题解析：解：∵2015=20162012+…+故2015
2015
20152015
=？2016，
2015
﹣？2016+
2014
？2016﹣
2013
？
？2016﹣
除以8的余数为﹣=﹣1，即2015
2015
除以8的余数为7，
篇三：二项式定理解题技巧
二项式定理
1．二项式定理：
0n1n?1rn?rrnn
(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N?)，
2．基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做(a?b)的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数Cn
r
n
(r?0,1,2,???,n).
③项数：共(r?1)项，是关于a与b的齐次多项式 ④通项：展开式中的第r3．注意关键点：
①项数：展开式中总共有(n?1)项。
②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(a?b)与(b?a)是不同的。
③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。各项的次数和等于n.
④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn,Cn,Cn,???,Cn,???,Cn.项的系数是a与b的系数（包括
二项式系数）。
4．常用的结论： 令a
0122rrnn
?1,b?x, (1?x)n?Cn?Cnx?Cnx???Cnx???Cnx(n?N?)
n
0122rrnn
?Cn?Cnx?Cnx???Cnx???(?1)nCnx(n?N?)
1
2
r
n
rn?rrrn?rr
?1项Cnab表示。 ab叫做二项式展开式的通项。用Tr?1?Cn
nn
令a?1,b??x, (1?x)5．性质：
①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即Cn②二项式系数和：令a
nkk?1
，···Cn?Cn ?Cn
012rn
?b?1,则二项式系数的和为Cn?Cn?Cn???Cn???Cn?2n，
1
2rn
?Cn???Cn???Cn?2n?1。
变形式Cn
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令a从而得到：Cn
0123n?1,b??1，则Cn?Cn?Cn?Cn???(?1)nCn?(1?1)n?0，
242r132r?1
?Cn?Cn????Cn?????Cn?Cn???Cn?????
1n
?2?2n?1 2
④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
0n01n?12n?22n0n
(a?x)n?Cnax?Cnax?Cnax???Cnax?a0?a1x1?a2x2???anxn00n122n?2nn0(x?a)n?Cnax?Cnaxn?1?Cnax???Cnax?anxn???a2x2?a1x1?a0
令x?1, 则a0?a1?a2?a3??an?(a?1)n?????????①令x??1,则a0?a1?a2?a3???an?(a?1)n????????②(a?1)n?(a?1)n①?②得,a0?a2?a4??an?(奇数项的系数和)
2
(a?1)n?(a?1)n
①?②得,a1?a3?a5??an?(偶数项的系数和)
2
⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数C取得最大值。如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数C
n
n?12nn2n
,C
n?12n
同时取得最大值。
⑥系数的最大项：求(a?bx)展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别
为
?A?Ar
，从而解出r来。 A1,A2,???,An?1，设第r?1项系数最大，应有?r?1
?Ar?1?Ar?2
6．二项式定理的十一种考题的解法： 题型一：二项式定理的逆用； 例：Cn
1
23n?Cn?6?Cn?62???Cn?6n?1?
n
0123n
?Cn?Cn?6?Cn?62?Cn?63???Cn?6n与已知的有一些差距，
解：(1?6)
123n
?Cn?Cn?6?Cn?62???Cn?6n?1?
112n
(Cn?6?Cn?62???Cn?6n) 6
1011n122nnn
?(Cn?Cn?6?Cn?6???Cn?6?1)?[(1?6)?1]?(7?1)
666
1
23n?3Cn?9Cn???3n?1Cn? 123n
，则?Cn?3Cn?9Cn???3n?1Cn
练：Cn
解：设Sn
12233nn012233nn
3Sn?Cn3?Cn3?Cn3???Cn3?Cn?Cn3?Cn3?Cn3???Cn3?1?(1?3)n?1
(1?3)n?14n?1
?Sn??
33
题型二：利用通项公式求x的系数；
n
例：在二项式n
的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数？ 2
?45，即Cn?45，?n2?n?90?0，解得n??9(舍去)或n?10，由
解：由条件知Cn
n?2
Tr?1?C(x)
3
r10
?
1
410?r
(x)?Cx
23r
r10
?
10?r2
?r43
，由题意?
10?r2
?r?3,解得r?6， 43
则含有x的项是第7项T6?1
练：求(x
2
63
?C10x?210x3,系数为210。
19
)展开式中x9的系数？ 2x
1r11r29?r
解：Tr?1?C9(x)(?)?C9rx18?2r(?)rx?r?C9r(?)rx18?3r，令18?3r?9,则r?3
2x22132139
故x的系数为C9(?)??。
22
?
题型三：利用通项公式求常数项；
例：求二项式(x
2
10的展开式中的常数项？
解：Tr?1
?C(x)
r
10
210?r
r4551r20?58182，令20?()?r?0，得r?8，所以T9?C10 ?C()x
225622r
r
10
16
)的展开式中的常数项？ 2x
1rr6?rrr6?r1r6?2r33)?(?1)rC62()x解：Tr?1?C6(2x)(?1)(，令6?2r?0，得r?3，所以T4?(?1)C6??20 2x2
1n2
练：若(x?)的二项展开式中第5项为常数项，则n?____.
x42n?41442n?12
()?Cnx解：T5?Cn(x)，令2n?12?0，得n?6. x
练：求二项式(2x?
题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；
例：求二项式9展开式中的有理项？
1
29?r
解：Tr?1
?C(x)
r9
(?x)?(?1)Cx
13r
r
r9
27?r6
，令
27?r
?Z,(0?r?9)得r?3或r?9， 6
27?r34
?4，T4?(?1)3C9x??84x4， 627?r93
?3，T10?(?1)3C9当r?9时，x??x3。 6
所以当r
?3时，
题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；
例：若n展开式中偶数项系数和为?256，求n.
解：设n展开式中各项系数依次设为a0,a1,???an,
令x
??1,则有a0?a1????an?0,①，令x?1,则有a0?a1?a2?a3?????(?1)nan?2n,②
将①-②得：2(a1?a3 有题意得，?2
n?1
?a5????)??2n,?a1?a3?a5??????2n?1,
??256??28，?n?9。
练：若n
的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。 0
242r132r?1?Cn?Cn????Cn?????Cn?Cn???Cn?????2n?1，?2n?1?1024，解得n?11
解：?Cn
61
?65?415 所以中间两个项分别为n?6,n?
7，T5?1?C?462?x，T6?1?462?x
5n
题型六：最大系数，最大项； 例：已知(
少？ 解：?Cn
4
65?Cn?2Cn,?n2?21n?98?0,解出n?7或n?14，当n?7时，展开式中二项式系数最大的项是
1
?2x)n，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多2
3531434134
()2?,，T5的系数?C7()2?70,当n?14时，展开式中二项式系数最大T4和T5?T4的系数?C7
2227177
的项是T8，?T8的系数?C14()2?3432。
2
练：在(a?b)
2n
的展开式中，二项式系数最大的项是多少？
解：二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大，即T2n
2
?1
?Tn?1，也就是第n?1项。
练：在(
xn
的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？ 2n1
?1?5，即n?8,所以展开式中常数项为第七项等于C86()2?7 22
解：只有第5项的二项式最大，则
7
例：写出在(a?b)的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？
解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有T4
的系数最小，T5
434
?C7ab系数最大。
343
??C7ab
1
?2x)n的展开式中系数最大的项？ 2
11121212012
解：由Cn?Cn?Cn?79,解出n?12,假设Tr?1项最大，?(?2x)?()(1?4x)
22
例：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求(
rrr?1r?1
??Ar?1?Ar?C124?C124
????rr，化简得到9.4?r?10.4，又?0?r?12，?r?10，展开式中系数最
r?1r?1
?Ar?1?Ar?2??C124?C124
大的项为T11,有T11
1101010
?()12C124x?16896x10
2
练：在(1?2x)的展开式中系数最大的项是多少？ 解：假设Tr?1项最大，?Tr?1
r?C10?2rxr
10
rrr?1r?1??Ar?1?Ar?2(11?r)?r?C102?C102
????rr解得，化简得到6.3?k?7.3，又?0?r?10，?r?1r?1
A?Ar?1?2(10?r)???r?1r?2?C102?C102,
777?r?7，展开式中系数最大的项为T8?C102x?15360x7.
题型七：含有三项变两项； 例：求当(x解法①：(x
2
?3x?2)5的展开式中x的一次项的系数？
r
?3x?2)5?[(x2?2)?3x]5，Tr?1?C5(x2?2)5?r(3x)r，当且仅当r?1时，Tr?1的展开式中才有x的
1144
?T2?C5(x2?2)43x，所以x得一次项为C5C423x 4
4
2
一次项，此时Tr?1
1
它的系数为C5C42
解法②：(x
2
3?240。
05145051455
?3x?2)5?(x?1)5(x?2)5?(C5x?C5x?????C5)(C5x?C5x2?????C52)
故展开式中含x的项为C5xC52练：求式子(
455
4
?C5x24?240x，故展开式中x的系数为240.
x?
1
?2)3的常数项？
x
解：(x?
1166?r6?2rrr
，得(?1)rx()r?(?1)6C6x?2)3?，设第r?1项为常数项，则Tr?1?C6
xx3
6?2r?0,r?3, ?T3?1?(?1)3C6??20.
题型八：两个二项式相乘； 例：求(1?2x)解：?(1?2x)
3
(1?x)4展开式中x2的系数.
3
mm
的展开式的通项是C3?(2x)m?C3?2m?xm,
nnnn
(1?x)4的展开式的通项是Cn,2,3,n?0,1,2,3,4, 4?(?x)?C4??1?x,其中m?0,1
令m?n?2,则m?0且n?2,m?1且n?1,m?2且n?0,因此(1?2x)3(1?x)4
021120的展开式中x2的系数等于C3?20?C4?(?1)2?C3?21?C4?(?1)1?C3?22?C4?(?1)0??6.
练：求(16(110
展开式中的常数项.
mn4m?3n
?10m3nmn
解：(1(1展开式的通项为C6x?C10x4?C6?C10?x12
6
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