篇一：二项式定理解题技巧
二项式定理
1．二项式定理：
0n1n?1rn?rrnn
(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N?)，
2．基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做(a?b)的二项展开式。
r②二项式系数:展开式中各项的系数Cn(r?0,1,2,???,n).
n
③项数：共(r?1)项，是关于a与b的齐次多项式
rn?rr④通项：展开式中的第r?1项Cnab叫做二项式展开式的通项。用Tr?1?Cna
rn?r
br表示。
3．注意关键点：
①项数：展开式中总共有(n?1)项。
②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(a?b)与(b?a)是不同的。
③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。各项的次数和等于n.
012rn④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn,Cn,Cn,???,Cn,???,Cn.项的系数是a与b
nn
的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：
0122rrnn令a?1,b?x, (1?x)n?Cn?Cnx?Cnx???Cnx???Cnx(n?N?) 0122rrnn
?Cnx?Cnx???Cnx???(?1)nCnx(n?N?) 令a?1,b??x, (1?x)n?Cn
5．性质：
0nkk?1
①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即Cn，···Cn ?Cn?Cn012rn
?Cn?Cn???Cn???Cn?2n， ②二项式系数和：令a?b?1,则二项式系数的和为Cn
12rn
?Cn???Cn???Cn?2n?1。 变形式Cn
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
0123nnn
在二项式定理中，令a?1,b??1，则Cn?Cn?Cn?Cn???(?1)Cn?(1?1)?0，
0242r132r?1
从而得到：Cn?Cn?Cn????Cn?????Cn?Cn???Cn?????
1n
?2?2n?1 2
④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
0n01n?12n?22n0n
(a?x)n?Cnax?Cnax?Cnax???Cnax?a0?a1x1?a2x2???anxn00n122n?2nn0(x?a)n?Cnax?Cnaxn?1?Cnax???Cnax?anxn???a2x2?a1x1?a0
令x?1, 则a0?a1?a2?a3??an?(a?1)n?????????①令x??1,则a0?a1?a2?a3???an?(a?1)n????????②(a?1)n?(a?1)n①?②得,a0?a2?a4??an?(奇数项的系数和)
2
(a?1)n?(a?1)n
①?②得,a1?a3?a5??an?(偶数项的系数和)
2
⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数C取得最大值。如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数C
n
n
2n
n?12,n
C
n?1
2同时取得最大值。 n
⑥系数的最大项：求(a?bx)展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别
为A1,A2,???,An?1，设第r?1项系数最大，应有?
6．二项式定理的十一种考题的解法： 题型一：二项式定理的逆用；
123n
例：Cn?Cn?6?Cn?62???Cn?6n?1?.
0123n解：(1?6)n?Cn?Cn?6?Cn?62?Cn?63???Cn?6n与已知的有一些差距，
?Ar?1?Ar
，从而解出r来。
?Ar?1?Ar?2
123n?Cn?Cn?6?Cn?62???Cn?6n?1?
112n
(Cn?6?Cn?62???Cn?6n) 6
101112n ?(Cn?Cn?6?Cn?62???Cn?6n?1)?[(1?6)n?1]?(7n?1)
666
123n?3Cn?9Cn???3n?1Cn? 练：Cn
123n
?3Cn?9Cn???3n?1Cn解：设Sn?Cn，则
12233nn012233nn
3Sn?Cn3?Cn3?Cn3???Cn3?Cn?Cn3?Cn3?Cn3???Cn3?1?(1?3)n?1
(1?3)n?14n?1
?Sn??
33
题型二：利用通项公式求xn的系数；
例：在二项式解：由条件知Cn
n
的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数？ 2
?45，即Cn?45，?n2?n?90?0，解得n??9(舍去)或n?10，由
n?2
Tr?1?C(x)
r10
?
1
410?r
(x)?Cx
23r
r10
10?r2??r43
，由题意?
10?r2
?r?3,解得r?6， 43
63
则含有x3的项是第7项T6?1?C10x?210x3,系数为210。
19
)展开式中x9的系数？ 2x
111rr18?2rr
解：Tr?1?C9(x2)9?r(?)r?C9x(?)rx?r?C9(?)rx18?3r，令18?3r?9,则r?3
2x2212193
故x的系数为C9(?)3??。
22
练：求(x2?
题型三：利用通项公式求常数项；
例：求二项式(x2?
10的展开式中的常数项？
解：Tr?1?C(x)
r
10
210?r
r451r20?55818
?C()x2，令20?r?0，得r?8，所以T9?C10()?
222562r
r10
16
)的展开式中的常数项？ 2x
13rr6?r1r6?2r
解：Tr?1?C6，令6?2r?得r?3，所以T4?(?1)3C6??20 0，(2x)6?r(?1)r()r?(?1)rC62()x
2x2
1
练：若(x2?)n的二项展开式中第5项为常数项，则n?____.
x
1442n?12
解：T5?Cn，令2n?12?0，得n?6. (x2)n?4()4?Cnx
x
练：求二项式(2x?
题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；
例：求二项式9展开式中的有理项？
r9
1
29?r
13r
r
r9
27?r6
解：Tr?1?C(x)
(?x)?(?1)Cx，令
27?r
?Z,(0?r?9)得r?3或r?9， 6
27?r34
x??84x4， ?4，T4?(?1)3C9
627?r93
x??x3。 当r?9时，?3，T10?(?1)3C9
6
所以当r?3时，
题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；
例：若n展开式中偶数项系数和为?256，求n.
解：设n展开式中各项系数依次设为a0,a1,???an,
nn
令x??1,则有a0?a1????an?0,①，令x?1,则有a0?a1?a2?a3?????(?1)an?2,②
将①-②得：2(a1?a3?a5????)??2n,?a1?a3?a5??????2n?1, 有题意得，?2n?1??256??28，?n?9。
练：若n的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。 0242r132r?1
解：?Cn?Cn?Cn????Cn?????Cn?Cn???Cn?????2n?1，?2n?1?1024，解得n?11
61
?65?415 所以中间两个项分别为n?6,n?
7，T5?1?C?462?x，T6?1?462?x
5n
题型六：最大系数，最大项；
例：已知(?2x)n，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最
大项的系数是多少？
465
解：?Cn?Cn?2Cn,?n2?21n?98?0,解出n?7或n?14，当n?7时，展开式中二项式系数最大的项是
1
2
3531434134
T4和T5?T4的系数?C7()2?,，T5的系数?C7()2?70,当n?14时，展开式中二项式系数
222
7177
最大的项是T8，?T8的系数?C14()2?3432。
2
练：在(a?b)2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？
解：二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大，即T2n
2?1
?Tn?1，也就是第n?1项。
练：在(x2n
的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？ 解：只有第5项的二项式最大，则
n1
?1?5，即n?8,所以展开式中常数项为第七项等于C86()2?7 22
例：写出在(a?b)7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？
解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有
343434
T4??C7ab的系数最小，T5?C7ab系数最大。
例：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求(?2x)n的展开式中系数最大的项？
012
解：由Cn?Cn?Cn?79,解出n?12,假设Tr?1项最大，?(?2x)?()(1?4x)
12
12
12
12
1212
rrr?1r?1??Ar?1?Ar?C124?C124
????rr，化简得到9.4?r?10.4，又?0?r?12，?r?10，展开式中系r?1r?1
?Ar?1?Ar?2??C124?C124
数最大的项为T11,有T11?()C124x
1
2
12101010
?16896x10
练：在(1?2x)10的展开式中系数最大的项是多少？ 解：假设Tr?1项最大，?Tr?1?C10?2x
rrr?1r?1??Ar?1?Ar?2(11?r)?r?C102?C102
????rr解得，化简得到6.3?k?7.3，又?0?r?10，?r?1r?1
A?Ar?1?2(10?r)???r?1r?2?C102?C102,
rrr
777
2x?15360x7. ?r?7，展开式中系数最大的项为T8?C10
题型七：含有三项变两项；
例：求当(x2?3x?2)5的展开式中x的一次项的系数？
r
解法①：(x2?3x?2)5?[(x2?2)?3x]5，Tr?1?C5(x2?2)5?r(3x)r，当且仅当r?1时，Tr?1的展开式中才
1144
有x的一次项，此时Tr?1?T2?C5(x2?2)43x，所以x得一次项为C5C423x
144它的系数为C5C423?240。
05145051455
解法②：(x2?3x?2)5?(x?1)5(x?2)5?(C5x?C5x?????C5)(C5x?C5x2?????C52)
故展开式中含x的项为C5xC52?C5x2?240x，故展开式中x的系数为240. 练：求式子(x?
45544
1
?2)3的常数项？
x
解：(x?
1166?r6?2rrr
，(?1)rx()r?(?1)6C6x?2)3?，设第r?1项为常数项，则Tr?1?C6
xx3
??20. 得6?2r?0,r?3, ?T3?1?(?1)3C6
题型八：两个二项式相乘；
例：求(1?2x)(1?x)展开式中x的系数.
解：?(1?2x)的展开式的通项是C3?(2x)?C3?2?x,
nnnn
(1?x)4的展开式的通项是Cn4?(?x)?C4??1?x,其中m?0,1,2,3,n?0,1,2,3,4,
3
m
m
m
m
m
342
令m?n?2,则m?0且n?2,m?1且n?1,m?2且n?0,因此(1?2x)3(1?x)4
02110的展开式中x2的系数等于C3?20?C4?(?1)2?C3?21?C4?(?1)1?C32?22?C4?(?1)0??6.
练：求(1?(16
10
展开式中的常数项.
mn4m?3n
?10m3nmn
展开式的通项为C6x?C10x4?C6?C10?x12 解：(1?(1?6
篇二：二项式定理及典型试题
二项式定理及典型试题
知识点一：二项式定理
二项式定理:
①公式右边的多项式叫做 ②展开式中各项的系数
的二项展开式；
叫做二项式系数；
表示；二项展开式的通项公式为
③式中的第r+1
项叫做二项展开式的通项，用
.
知识点二：二项展开式的特性
①项数：有n+1项；
②次数：每一项的次数都是n次，即二项展开式为齐次式；
③各项组成：从左到右，字母a降幂排列，从n到0；字母b升幂排列，从0到n；④系数：依次为
.
知识点三：二项式系数的性质
①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等②单调性：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数开式中间两项的二项式系数 ③二项式系数之和为
，，即
相等，且最大.
最大；当n为奇数时，二项展
其中，二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即
经典例题
1、“(a?b)n展开式
例1．求(3x?解：原式=(
1x
4
)4的展开式；
3x?1
(3x?1)41
)==2[
x2xx
C
4
(3x)?4
C
1
3
(3x)?4
C
2
2
(3x)?4
C
3
(3x)?4
C]
4
4
=81x2?84x?【练习1】求(3x?
1x
)4的展开式
121
??54 xx2
2.求展开式中的项
例2.
已知在n的展开式中，第6项为常数项.
2
（1） 求n； （2）求含x的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项. 解：（1）通项为Tr?1?Cx
r
n
n?r3
r
1r?31rrn?32r
(?)x?(?)Cnx
22
因为第6项为常数项，所以r=5时，有
n?2r
=0，即n=10. 3
10?2r1452
（2）令=2，得r?2所以所求的系数为C10. (?)2?
324
（3）根据通项公式，由题意?
?10?2r
?Z 3???0?r?10,r?Z
3k10?2r
，故k可以取2,0,?2，即r可以取2，5，8. ?k(k?Z)，则r?5?23
111258
所以第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为C10(?)2x2,C10(?)5,C10(?)8x?2.
222
令
【练习2】
若n展开式中前三项系数成等差数列.求：
（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x的有理项.
3.二项展开式中的系数
例3.
已知x)的展开式的二项式系数和比(3x?1)的展开式的二项式系数和大992，求(2x?看例9）. 解：由题意知，2
2n22n
n
1x
2n
的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项（先
?2n?992，所以2n?32，解得n=5.
（1） (1)由二项式系数性质，(2x?)
大.T6?C10(2x)(?)??8064.
（2） 设第r?1项的系数的绝对值最大，
5
5
1
x
10
的展开式中第6项的二项式系数最
1x
5
1rr10?2r
?Tr?1?C10 (2x)10?r(?)r?(?1)r210?rC10x
x
rr?1?C10?2Cr10?rr?111?r10?C102?C102?11?r?2r811??rr?1??r10?r得，即，解得. ?r??2C10?C10r?19?r?2(r?1)?10?rC2?C233?10?10
374
2x??15360x4. ?r?Z,?r?3，故系数的绝对值最大的项是第4项，T4??C10
[练习3]
已知2n
)(n?N*)的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1. 2x
32
(1)求展开式中含x的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.
4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数
例4．（x?1)(x?2)的展开式中，x项的系数是 ； 解：在展开式中，x的来源有：
① 第一个因式中取出x，则第二个因式必出x，其系数为
3
23
2
7
3
C
6
6
(?2)； 7
② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出x，其系数为
6
4
C(?2)
7
4
4
?x3的系数应为：C7(?2)6?C7(?2)4?1008,?填1008。
5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数
例5（04安徽改编）(x?
1
?2)3的展开式中，常数项是 ； x
1(x?1)23(x?1)63
解：(x??2)?[，该式展开后常数项只有一项]?
xxx3
36
x3(?1)3x3
，即
?20
6、求中间项
例6求（x?
r
1
3
x
)10的展开式的中间项；
10?r
解：?Tr?1?C(x)
10
(?1x
),?展开式的中间项为
r
C
510
(x)5(?3
n?12
1x
)5
即：?252x。
n?12n
56
当n为奇数时，(a?b)的展开式的中间项是
n
C
n?12n
ab
n?12
和
C
ab
n?12n?12
；
当n为偶数时，(a?b)的展开式的中间项是
n
C
n2n
ab。
n2n2
7、有理项
例7 (x?解：?Tr?1?
1
x
r
)10的展开式中有理项共有项；
1
3
C
(r)10?r(?10
x
)r?
C
(?1)rx10
r10?
4r3
?当r?0,3,6,9时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。
① 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；
② 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么
这个代数式是无理式。
8、求系数最大或最小项
（1） 特殊的系数最大或最小问题
例8（00上海）在二项式(x?1)的展开式中，系数最小的项的系数是 解：?Tr?1?
11
C
r11
x11?r(?1)r
r
?要使项的系数最小，则r必为奇数，且使C11为最大，由此得r?5，从
而可知最小项的系数为
C
5
(?1)??462 11
5
（2） 一般的系数最大或最小问题 例9求(x?
12x
)8展开式中系数最大的项；
?Tk?Tk?1
Tk?Tk?1又 解：记第r项系数为Tr，设第k项系数最大，则有 ?
?Tr?C8.2?r?1，那么有
r?1
?????C.2?C.2C.2?C.2
?k?1
8
8
k?1
?k?1
k
8
8
k?1k?2
?k?2?k
即???
8!8!
??2
(k?1)!.(9?K)!(K?2)!.(10?K)!?8!8!??2??K!(8?K)!?(K?1)!.(9?K)!
5
2
2?1
?K?1?K?2 ??
21???9?KK
72
解得3?k?4，?系数最大的项为第3项T3?7x和第4项T4?7x。 （3）系数绝对值最大的项
例10在（x?y)7的展开式中，系数绝对值最大项是；
解：求系数绝对最大问题都可以将“(a?b)”型转化为"(a?b)"型来处理，
434
故此答案为第4项C7xy，和第5项?C5x2y5。 7
nn
9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和
例11．若(2x?)4?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4， 则(a0?a2?a4)2?(a1?a3)2的值为 ；
解： ?(2x?)4?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4令
x?1，有
(2?)4?a0?a1?a2?a3?a4
， 令
x??1，有
(?2?)4?(a0?a2?a4)?(a1?a3)
故原式=(a0?a1?a2?a3?a4).[(a0?a2?a4)?(a1?a3)]=(2?)4.(?2?)4=(?1)?1
【练习1】若(1?2x)2004?a0?a1x?a2x2?...?2004x2004， 则(a0?a1)?(a0?a2)?...?(a0?a2004)?； 解
：
4
?
(1?2x)2004?a0?a1x?a2x2?...?2004x2004
，令
x?1
，有
(1?2)2004?a0?a1?a2?...?a2004?1
令
x?0
，有
(1?0)2004?a0?1
故原式
=(a0?a1?a2?...?a2004)?2003a0=1?2003?2004
【练习2】设(2x?1)6?a6x6?a5x5?.?a1x?a0， 则a0?a1?a2?...?a6? ；
?Tr?1? 解：
C
r6
(2x)6?r(?1)r?a0?a1?a2?...?a6?a0?a1?a2?a3?a4?a5?a6
=(a0?a2?a4?a6)?(a1?a3?a5) =1
10、利用二项式定理求近似值
例15．求0.998的近似值，使误差小于0.001；
分析：因为0.998=(1?0.002)，故可以用二项式定理展开计算。解：0.998=(1?0.002)=1?6.(?0.002)?15.(?0.002)?...?(?0.002) ?T3?
6
6
1
2
6
6
66
C
6
22
.(?0.002)?15?(?0.002)?0.0000?60.001， 6
2
且第3项以后的绝对值都小于0.001，
?从第3项起，以后的项都可以忽略不计。
?0.998=(1?0.002)?1?6?(?0.002)=1?0.012?0.988 小结：由(1?x)?1?
n
2n
x?x?...?xCnCnCn，当x的绝对值与1相比很小且1
2
n
6
因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，n很大时，x2,x3,....xn等项的绝对值都很小，
因此可以用近似计算公式：(1?x)?1?nx，在使用这个公式时，要注意按问题对精确
n
篇三：高中数学二项式定理题型总结
二项式定理
知识点归纳
1．二项式定理及其特例：
（1）(a?b)?Cna?Cnab???Cna
n
1
r
r
n0n1n?r
b???Cnb(n?N)，
rnn?
（2）(1?x)?1?Cnx???Cnx???x2．二项展开式的通项公式：Tr?1?Cna
r
n?r
r
n
b(r?0，1，2?，n3．常数项、有理项和系数最大的项：
求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性
(a?b)展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3?时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以
5．二项式系数的性质：
n
(a?b)展开式的二项式系数是Cn，Cn，Cn，?，Cn．Cn可以看成以r为自变量的函数f(r)，
定义域是{0,1,2,?,n}，例当n?6时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（Cn?Cn
n2nm
n?m
n012
） 直线r?
n2
n?12
n?1
（2）增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项Cn（3）各二项式系数和：∵(1?x)?1?Cnx???Cnx???x， 令x?1，则2?Cn?Cn?Cn???Cn???Cn，Cn2n1rrn
n012rn
题型讲解
例1 如果在（x+
12x
）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项解：展开式中前三项的系数分别为1，
r=C8r?1
n2
，
n(n?1)8
，由题意得2×
n2
=1+
n(n?1)8358
，得n设第r+1项为有理项，
T·
1
r
16?3r
·x
4
2
点评：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定
，则r是4的倍数，所以r=0，4，8有理项为T1=x4，T5=
x，T9例2 求式子（｜x｜+解法一：（｜x｜+
1|x|
1|x|
－2）3的展开式中的常数项
－2）3=（｜x｜+
1|x|
－2）（｜x｜+
1|x|
1|x|
－2）（｜x｜+
1|x|
－2）得到常数项的情况有：①三个括号
1
1
中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x｜，一个括号取
3
，一个括号取－2，得C3C2（－2）=－12，∴常数项为（－2）
r
+（－12）=－20（|x|+
1|x|
－2）3=（x|－
1x|
）6r+1项为常数项，则Tr?1=C6·（－1）r·（
1|x|
）r·|x|
6?r
=
（－1）6·C6·|x|
r6?2r
，得6－2r=0，rT3+1=（－1）3·C6=－203
例3 ⑴求（1+x+x2+x3）（1－x）7的展开式中x4的系数；⑵求（x+⑶求（1+x）+（1+x）+?+（1+x）的展开式中x的系数4x
－4）4的展开式中的常数项；
34503
解：⑴原式=
4
1?x
4
4
1?x
（1－x）7=（1－x4）（1－x）6，展开式中x4的系数为（－1）4C
8
4
6
－1=14⑵（x+
4x
－4）
=
(x?4x?4)
x
4
2
=
(2?x)x
4
，展开式中的常数项为C
48
2
4
·（－1）4=1120
⑶方法一：原式
3
48
51
3
=
(1?x)[(1?x)?1]
(1?x)?1
=
4
x3的系数为C51方法二：原展开式中x3的系数为
44
C3+C3+C3+?+C3=C4+C3+?+C3=C5+C3+?+C3=?=C51 505050444355
点评：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键1??29
例4 求?x??展开式中x的系数
2x??
解：T
r?1
9
?C
r
r9
?x?
29?r
3
1??r1?18?3r令?1?r18?2r?r?1?21 93?????C9x???x?C9???x18?3r?9,则r?3,故x的系数为:C9???＝－
2?2x??2??2??2?
rrr
点评：①Cna
n?r
b是?a?b?展开式中的第r?1项，r?0,1,2,?n②注意二项式系数与某项系数的区别r
n
?1?
第4项的二项式系数是C，第4项x的系数为C???，二者并不相同?2?
39
3
9
39
例5 求
?
3x?
r
3
2
?
100
展开所得x的多项式中，系数为有理数的项数
解：Tr?1?C100
?
3x
?
100?r
?
?2?
r
100?rr
?C100x
r100?r
?3
2
?23依题意：
100?r
2
,
r3
?Z，?r为3和2的倍数，即
为6的倍数，又?0?r?100，r?N，?r?0,6,?,96，构成首项为0，公差为6，末项为96的等差数列，由
96?0?(n?1)?6得n?17，故系数为有理数的项共有17项点评：有理项的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征?解法一：?x
5
1
例6 求x
22
?3x?2?展开式中x的系数
5
?3x?2???x?1???x?2?
4
5
5
1
4
4
4
5
5
5
55
??C5x?C5x???C5x?C5???C5x?C5x2???C5x?2?C52
4?
故展开式中含
x
的项为
5
C5x?C5?2?C5?C5x?2
Tr?1?C5x
1
r
455544
?240x，故展开式中x的系数为240解法二：x?3x?2
?
2
?
5
2
??x?2??3x ??
?
5
2
?2
4
?
5?r
??3x??0?r?5,r?N?，要使x指数为1，只有r?1才有可能，即
r
T2?C5x?2
2
?，故x的系数为15?2?240，解法三：
?x?3x?2???x?3x?2??x?3x?2??x?3x?2??x?3x?2??x?3x?2?，由多项式的乘法法则，从
2
??
?3x?15xx?4?2x?6?4x?4?8x?2
2
2
2
2
?
864244
2
以上5个括号中，一个括号内出现x，其它四个括号出现常数项，则积为x的一次项，此时系数为C53?C4?2?240
点评：此类问题通常有两个解法：化三项为二项，乘法法则及排列、组合知识的综合应用
144
例7 设an=1+q+q2+?+q
n?1
（n∈N*，q≠±1），An=Cna1+Cna2+?+Cnan
12n
（1）用q和n表示An；（2）（理）当－3<q<1时，求n??解：（1）因为q≠1，所以an=1+q+q+?+q=（2）
2
n?1
lim
n
n
An=
1?q1?q
1Cn
+
1?q
2
1?q
C+?+
2n
1?q
n
1?q
Cn
n
11?q
An2
n
［（Cn+Cn+?+Cn）－（C
12n
1
n
q+Cnq2+?+Cnqn）］=
2
11?q
{（2n－1）－［（1+q）n－1］}=
11?q［2n－（1+q）n］
=
11?q
［1－（
1
1?q2
2
）n3<q<1，且q≠－1，所以0<|
1?q2
|<1n??
lim
An2
n
例8 已知Cn?2Cn?2Cn???2Cn?729，求Cn?Cn???Cn 分析：在已知等式的左边隐含一个二项式，设法先求出n2nn12n
解：在
n
?a?b?n
?Cna?Cna
0n1n?1
b?Cna
?Cn
n
6
2n?2
1
b???Cnb
6
2nn
中，令a?1,
b?2得?1?2??729
n
?3?729
12
?n?6?Cn?Cn??
?C?C??
2
12
C?0?C6??C6??6?C6?C?6
6
?C26
?1
6
?6 3?
1
2
n
n
2
4
1
3
5
n?1
点评：①记住课本结论：Cn?Cn?Cn???Cn?2，Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn???2 ②注意所求式中缺少一项，不能直接等于2
例9 已知2x?解： 令x?1时，有2?
2
6
?
3
?
4
?a0?a1x?a2x?a3x?a4x，求?a0?a2?a4???a1?a3?2
3
4
22
?
3
?
4
?a0?a1?a2?a3?a4，令x??1时，有?2?
2
?
3
?
4
?a0?a1?a2?a3?a4
∵?a0?a2?a4???a1?a3???a0?a1?a2?a3?a4??a0?a1?a2?a3?a4? ∴ ?a0?a2?a4???a1?a3??2?
2
2
?
3
????2?
4
3
?
4
???1??1
4
点评：赋值法是由一般到特殊的一种处理方法，在高考题中屡见不鲜，特别在二项式定理中的应用尤为明显赋值法是给代数式（或方程或函数表达式）中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的
例10 求?x?2y?展开式中系数最大的项
7
rrr?1r?1??Tr?1项系数?Tr项系数?C72?C72
解：设第r?1项系数最大，则有?，即?
rrr?1r?1??Tr?1项系数?Tr?2项系数?C72?C72
7!7!?rr?1116?2?2?2?r??r!7?r!????r?1?!?7?r?1?!???r8?r?3
??又?0?r?7,r?N,?r?5 ???
7!7!1312rr?1???r?2?2??r!?7?r?!??3r?1??7?r?r?1?!?7?r?1?!?
故系数最大项为T6?C7x?2y
5
2
5
5
?672xy
25
点评：二项式系数最大的项与系数最大的项不同n为偶数时中间项Tn
的二项式系数最
?1
2
大；当n为奇数时，中间两项Tn?1
2
?1
，Tn?1
2
的二项式系数相等且为最大
?1
小结：
1Tr?1=Cna
rn?r
br时，要注意：①通项公式是表示第r＋1项，而不是第r②展开式中第r+1项的二项
式系数Cn与第r+1项的系数不同③通项公式中含有a，b，n，r，T
r
r?1
五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五
个元素公式，把问题归纳为解方程（或方程组）n是正整数，r是非负整数且r≤n2 学生练习
11－3x）9=a0+a1x+a2x2+?+a9x9，则｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+?+｜a9｜等于 A9 B49 C39 D解析：x的奇数次方的系数都是负值，∴｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+?+｜a9｜=a0－a1+a2－a3+?－a∴已知条件中只需赋值x=－1即可B
2 2x+x）4的展开式中x3的系数是 AB
C
D解析：（2x+32x3－
x）4=x2（1+2x）4，在（1+2
2
x）4中，x的系数为C2
4·2C
1x
）7的展开式中常数项是
3
A
B14
C
D－42
解析：设（2x－
1x
）的展开式中的第r+1项是T
7
r=C7r?1
（2x）
3
7?r
（－
1x
）
r
r=C7
2
7?r
·（－1）·x
r
?
r2
?3(7?x)
，
2
420个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为
AB19 C220 D20－1
当－
r
+3（7－r）=0，即r=6时，它为常数项，∴C7（－1）6·21=14A
6
解析：C1+C2+?+C20=220－1D 202020
5x－
ax
）8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是 B8
A8
C或38
D或28
rr4
解析：Tr?1=C8·x8－r·（－ax－1）r=（－a）rC8·x8－2r令8－2r=0，∴r∴（－a）4C8a=±2当a=2时，令x=1，则（1－2）8=1，当a=－2时，令x=－1，则（－1－2）8=38C
3
6x2+x
?
13
）n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是_____________
3
解析：∵（x2+x
r7
?
13
）n的展开式中各项系数和为128，∴令x=1，即得所有项系数和为2n=128∴n设该二项展开式中
3
的r+1项为Tr?1=C（x2）
7?r
6
nn32*
7若（x+1）=x+?+ax+bx+cx+1（n∈N），且a∶b=3∶1，那么n=________
·（x
?
13
63?11r
）r=C·x
r
7
6
，令
63?11r
=5即r=3时，x5项的系数为C7=35答案：35
3
解析：a∶b=Cn∶Cn=3∶1，n答案：11
32
8x－
1x
）8展开式中x5的系数为_____________解析：设展开式的第r+1项为Tr?1=C8x8－r·（－答案：28
9x3+
r
1x
rr）=（－1）C8x
r
8?
3r2
令8－
3r2
2
=5得r=2时，x5的系数为（－1）·C82
1xx
）n的展开式中的常数项为84，则n=_____________
解析：T
r
r=C?1
（x）
3n－r
·（x
?
32
）=C·x
r
r
n
3n?
92
r
令3n－
92
r=0，∴2nn必为3的倍数，r为偶数试验可知n=9，
r=6时，Cn=C9=849
6
10x
lgx
+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，求x的值
解：由题意Cn
n?2
＋Cn
n?1
＋Cn=22，即Cn＋Cn＋Cn=22，∴n=64项的二项式系数最大∴C6（x
n210
3
lgx
）3=20000，即
x3lgx=1000∴x=10或x=
111+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2+?+a11x11求：（1）a1+a2+a3+?+a11； （2）a0+a2+a4+?+a 解：（1）（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2+?+a11x11x=1，得 a0+a1+a2+?+a11=－26， ① 又a0=1，
所以a1+a2+?+a11=－26－1=－（2）再令x=－1，得
a0－a1+a2－a3+?－a11②
①+②得a0+a2+?+a10=
1
2
点评：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或－112axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0
（－26+0）=－（1）求它是第几项；（2）求
r
ab
－
的范围
解：（1）设Tr?1=C12（axm）12r·（bxn）r=C12a12rbrxm
∴r=4，它是第5项（2）∵第5项又是系数最大的项，
－
r
（12－r）+
为常数项，则有m（12－r）+=0，即m（12－r）－2mr=0，
∴有C12a8b4≥C12a9b3①C12a8b4≥C12a7b5② 由①得
4345
12?11?10?9
4?3?2
a8b4≥
12?11?10
3?2
a9b3，
∵a＞0，b＞0，∴由②得
94
b≥a，即
ab
ab
≥
85
，∴
85
≤
ab
在二项式（
x+
1
）n2x
分析：根据题意列出前三项系数关系式，先确定n，再分别求出相应的有理项解：前三项系数为Cn，
1
2
解得n=8或n=1Cn，
1
14
Cn，由已知Cn=Cn+
3r4
210
14
Cn，即n2－9n+8=0，
2
T
r=C8r?1
（x）
8－r
（2
x）
－r
r=C8
·
12
r
·x
4?
∵4－
3r4
∈Z且0≤r≤8，r∈Z，
∴r=0，r=4，rx的有理项为T1=x4，T5=
358
x，T9=
1256
x－点评：展开式中有理项的特点是字母x的指数4－142<（1+
3r4
∈Z即可，而不需要指数4－
3r4
∈1n
）n<3（n≥2，n∈N*证明：（1+
2
1n
）n=Cn+Cn×
01
1n
+Cn（
n
2
1n
1
n
）2+?+Cn（ +?+
n
1n
）n
=1+1+Cn×=2+<2+
1nn
2
+Cn×+
3
1n
3
+?+Cn×
n
12!12!1
×+
n(n?1)
2
13!1n!
×
n(n?1)(n?2)
n
3
1n!
×
n?(n?1)???2?1
n
n
13!
+
14!
+?+<2+
12
+
12
2
+
12
3
+?+
12
n?1
1n?1
[1?()]
1n?12=2+2=3－（）121?
2
显然（1+
1n
）n=1+1+Cn×
2
1n
2
+Cn×
3
1n
3
+?+Cn×
n
1n
n
所以2<（1+
1n
）n<3
《二项式定理》由：创业找项目整理
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