专题01
整式的乘除
阅读与思考
指数运算律是整式乘除的基础，有以下5个公式：，
，，，，．
学习指数运算律应注意：
1．运算律成立的条件；
2．运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式；
3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．
多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是：
1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位；
2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐；
3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止．
例题与求解
【例1】（1）若为不等式的解，则的最小正整数的值为
．
（“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）
（2）已知，那么
．（“华杯赛”试题）
（3）把展开后得，则
．
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
（4）若则
．（创新杯训练试题）
解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求值，可考虑高次多项式用低次多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值法；对于（4），可考虑比较系数法．【例2】已知，，则等于（
）
A．2
B．1
C．D．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：为指数，我们无法求出的值，而，所以只需求出的值或它们的关系，于是自然想到指数运算律．【例3】设都是正整数，并且，求的值．（江苏省竞赛试题）
解题思路：设，这样可用的式子表示，可用的式子表示，通过减少字母个数降低问题的难度．
【例4】已知多项式，求的值．
解题思路：等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应系数对应相等，从而可考虑用比较系数法．
【例5】是否存在常数使得能被整除？如果存在，求出的值，否则请说明理由．
解题思路：由条件可推知商式是一个二次三项式（含待定系数），根据“被除式=除式×商式”，运用待定系数法求出的值，所谓是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解．
【例6】已知多项式能被整除，求的值．（北京市竞赛试题）
解题思路：本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．本题关键是能够通过分析得出当和时，原多项式的值均为0，从而求出的值．当然本题也有其他解法．
能力训练
A级
1．（1）
．
（福州市中考试题）
（2）若，则
．（广东省竞赛试题）
2．若，则
．
3．满足的的最小正整数为
．（武汉市选拔赛试题）
4．都是正数，且，则中，最大的一个是
．
（“英才杯”竞赛试题）
5．探索规律：，个位数是3；，个位数是9；，个位数是7；，个位数是1；，个位数是3；，个位数是9；…那么的个位数字是
，的个位数字是
．
（长沙市中考试题）
6．已知，则的大小关系是（）
A．
B．
C．
D．
7．已知，那么从小到大的顺序是（
）
A．
B．
C．
D．
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
8．若，其中为整数，则与的数量关系为（
）
A．
B．
C．
D．
（江苏省竞赛试题）
9．已知则的关系是（
）
A．
B．
C．
D．
（河北省竞赛试题）
10．化简得（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知，
试求的值．
12．已知．试确定的值．
13．
已知除以，其余数较被除所得的余数少2，求的值．
（香港中学竞赛试题）B级
1．已知则=
．
2．（1）计算：=
．
（第16届“希望杯”邀请竞赛试题）
（2）如果，那么
．
（青少年数学周“宗沪杯”竞赛试题）
3．（1）与的大小关系是（填“＞”“＜”“＝”）．
（2）与的大小关系是：（填“＞”“＜”“＝”）．
4．如果则=．
（“希望杯”邀请赛试题）
5．已知，则．
（“五羊杯”竞赛试题）
6．已知均为不等于1的正数，且则的值为（
）
A．3
B．2
C．1
D．
（“CASIO杯”武汉市竞赛试题）
7．若，则的值是（）
A．1
B．0
C．—1
D．2
8．如果有两个因式和，则（
）
A．7
B．8
C．15
D．21
（奥赛培训试题）
9．已知均为正数，又，，则与的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．关系不确定
10．满足的整数有（）个
A．1
B．2
C．3
D．4
11．设满足求的值．12．若为整数，且，，求的值．
（美国犹他州竞赛试题）
13．已知为有理数，且多项式能够被整除．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）若为整数，且．试比较的大小．（四川省竞赛试题）
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